Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;π2, thỏa mãn hệ thức fx+tanxf'x=xcos3x. Biết rằng 3fπ3−fπ6=aπ3+bln3 trong đó a,b∈ℚ. Tính giá trị của biểu thức P=a+b.

Đáp án A

Ta có cosxfx+sinxf'x=xcos2x⇔sinxfx'=xcos2x.

Suy ra sinxfx=∫xcos2xdx=xtanx+lncosx+C.

Với x=π3⇒32fπ3=π3.3−ln2+C⇒3fπ3=23.π3−2ln2+2C.

Với x=π6⇒12fπ6=π6.33+12ln3−ln2+C⇒fπ6=19.π3+ln3−2ln2+2C.

Vậy 3fπ3−fπ6=59π3−ln3⇒a=59b=−1⇒P=a+b=−49.