Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(0) = 0. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y=2fsin x−3cos2x−a+9 đồng biến trên khoảng 0;π2?

Đáp án đúng là: D

Ta có: y=2fsin x−31−2sin2x−a+9=2fsin x+6sin2x+6−a

Đặt t=sin x,  t∈0;1.

Khi đó, ta có: y=2ft+6t2+6−a=2ft+6t2+6−a2

Ta có: y'=2ft+6t2+6−a2f't+12t2ft+6t2+6−a2.

Để hàm số đồng biến trên (0;1) thì

y'>0,∀t∈0;1⇔2ft+6t2+6−a2f't+12t>0,∀t∈0;1.(1)

Dựa vào đồ thị f'(t) ta thấy 2f't+12t>0,∀t∈0;1.

Do đó, 1⇔2ft+6t2+6−a>0,∀t∈0;1

⇔a<2ft+6t2+6,∀t∈0;1⇒a≤min0;12ft+6t2+6.

Xét hàm số gt=2ft+6t2+6 trên [0;1].

Ta có: g't=2f't+12t>0,∀t∈0;1 suy ra hàm số g(t) đồng biến trên (0;1)

Do đó, min0;1gt=g0=2f0+6.02+6=6.

Vậy a≤6. Mà a∈ℕ* suy ra a∈1,2,3,4,5,6.