Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình y=fx−x−12x=0⇔fx=x−12⇔x=12x=2.

Khi đó S=∫122fx−x−12xdx=∫122fxxdx−∫122x−2+1xdx=A−B.

Tính B=∫122x−2+1xdx=x22−2x+lnx122=−98+2ln2.

Tính A=∫122fxxdx=∫122fxdlnx=fxlnx122−∫122f'xlnxdx=54ln2−∫122f'xlnxdx.

Xét phương trình

f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0⇔f'xlnx−1x2f'1xlnx=5181−1x2lnx.

Suy ra ∫122f'xlnxdx+∫122−1x2f'1xlnxdx=518∫1221−1x2lnxdx.

Đặt t=1x⇒dt=−1x2dx, ta có x=12⇒t=2, x=2⇒t=12.

Khi đó ∫122−1x2f'1xlnxdx=∫212f'tln1tdt=∫122f'tlntdt=∫122f'xlnxdx.

Lại có

∫1221−1x2lnxdx=∫122lnxdx+1x=x+1xlnx122−∫122x+1x1xdx=5ln2−3.

Suy ra 2∫122f'xlnxdx=5185ln2−3⇔∫122f'xlnxdx=2536ln2−512.

Do đó A=54ln2−2536ln2−512=59ln2+512.

Vậy S=A−B=59ln2+512+98−2ln2=3724−139ln2.