Cho hàm số fx liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Có đồ thị hàm số y=f'x như hình vẽ bên. Biết phương trình 2fx>x2+m đúng với mọix∈−2;3 khi và chỉ khi:

Đáp án B

Ta có 2fx>x2+m⇔2fx−x2>m , với mọi x∈−2;3 .

Đặt gx=2fx−x2  xét trên đoạn x∈−2;3 .

g'x=2f'x−x.

Vẽ đường thẳng y=x  cùng với đồ thị hàm số y=f'x  trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: g'x=0⇔f'x=x⇔x=−2x=1x=3

Bảng biến thiên:

Gọi S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f'x, y=x, x=−2, x=1

Gọi H  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f'x, y=x, x=1, x=3

Dựa vào đồ thị dễ thấy S>H⇔S−H>0

Ta có:∫−23g'x2dx=12∫−21g'xdx+∫13g'xdx=12S−H>0⇒∫−23g'x2dx>0⇔gx2−23 >0⇔g3−g22>0⇔g3−g2>0⇒minx∈−2;3gx=g−2

Để bất phương trình gx=2fx−x2>m  đúng với mọi x∈−2;3  thì minx∈−2;3gx>m⇒g−2>m⇔m<2f−2−4.