Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

Đáp án C

Chuẩn hóa bán kính của viên bi là 1 => Chiều cao của cốc là h = 2. 

+) Thể tích của viên bi là V1=4π3. Gọi R, r lần lượt là bán kính của miệng cốc và đáy cốc.

+) Thể tích của cốc ( khối nón cụt ) là V2=πh3R2+Rr+r2=2π3R2+Rr+r2 

+) Vì lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc V1V2=12⇒R2+Rr+r2=4                 (1) 

+) Xét mặt cắt của cốc khi thả viên bi vào trong cốc ( hình vẽ bên)

Dễ thấy ABCD là hình thang cân ⇒OA2+OB2=AB2             (2) 

Mà OA2=R2+1OB2=r2+1 và AB2=AH-BK2+HK2=R-r2+4  (3) 

Từ (2) và (3) ⇒R2+r2+2=R-r2+4⇔Rr=1    (4) 

Từ (1) và (4) ⇒R2+Rr+r2=4Rr⇔Rr2=3Rr+1=0 

⇔Rr=3+52. Vậy tỉ số cần tính là 3+52