Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=2cosx−1sin2x trên khoảng 0;  π. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng 0;  π là 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Đáp án A

Ta có: ∫fxdx=∫2cosx−1sin2xdx=2∫cosxsin2xdx−∫1sin2xdx

=2∫dsinxsin2x−∫1sin2xdx=−2sinx+cotx+C

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=2cosx−1sin2x trên khoảng 0;  π

Nên hàm số F(x) có công thức dạng Fx=−2sinx+cotx+C với mọi x∈0;  π.

Xét hàm số Fx=−2sinx+cotx+C xác định và liên tục trên 0;  π.

F'x=fx=2cosx−1sin2x

Xét F'x=0⇔2cosx−1sin2x=0⇔cosx=12⇔x=±π3+k2π k∈Z

Trên khoảng 0;  π, phương trình F'x=0 có một nghiệm x=π3.

Bảng biến thiên.

max0;  πFx=Fπ3=−3+C

Theo đề bài ta có, −3+C=3⇔C=23

Do đó, Fx=−2sinx+cotx+23

Khi đó, Fπ6=33−4