Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh C'D', G là trọng tâm tam giác ABD. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng B'MG.

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Mở rộng mặt phẳng (B'MG), chứng minh B'MG≡B'GN với N là trung điểm của AB.

- Đổi dC;B'GN sang dB;B'GN.

- Trong (ABCD) kẻ BH⊥GN, trong (B'BH) kẻ BK⊥B'N. Chứng minh BK⊥B'GN.

- Sử dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AB, ta có B'M//DN nên B',M,D,N đồng phẳng ⇒B'MG≡B'GN.

⇒dC;B'MG=dC;B'GN.

Gọi O=AC∩BD, ta có AGAO=23⇒AGAC=23.12=13⇒AGCG=12.

Ta có CA∩B'GN=G⇒dC;B'GNdA;B'GN=CGAG=2

⇒dC;B'GN=2dA;B'GN.

Lại có AB∩B'GN=N⇒dA;B'GNdB;B'GN=ANBN=1

⇒dA;B'GN=dB;B'GN ⇒dC;B'GN=2dB;B'GN

Trong (ABCD) kẻ BH⊥GN, trong (B'BH) kẻ BK⊥B'N.

Ta có: GN⊥BHGN⊥BB'⇒GN⊥BB'H⇒GN⊥BK

BK⊥B'HBK⊥GN⇒BK⊥B'GN⇒dB;B'GN=BK

Ta có ΔBNH~ΔDNAg.g⇒BHAD=BNDN ⇒BH=a.a2a2+a24=a55.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BB'H ta có: BK=BB'.BHBB'2+BH2=a.a55a2+a25=a66.

Vậy dC;B'MG=dC;B'GN=2dB;B'GN=a63.