Giá trị nhỏ nhất của P=a2+b2 để hàm số fx=x4+ax3+bx2+ax+1 có đồ thị cắt trục hoành là

Xét phương trình: x4+ax3+bx2+ax+1=0⇒x+1x2+ax+1x+b−2=0 x≠0.

Đặt t=x+1x t≥2⇒t2+at+b−2=0 (*)

Xét đường thẳng Δ:tx+y+t2−2=0 t≥2 và đường tròn C:x2+y2=P có tâm O(0;0), bán kính R=P.

Để (*) có nghiệm thì Δ và ( C) tiếp xúc hoặc cắt nhau:

⇔dO,Δ≤R⇔t2−2t2+1≤P⇒P≥t2−22t2+1 t≥2; t2−22t2+1=u−32u u=t2+1≥5.

Xétfu=u−32u,u≥5⇒fu≥45⇒P≥45 khi u=5⇒x+1x=±2.