Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1,B2;0;2,C−1;−1;0 , D0;3;4 . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' thỏa mãn ABAB'+ACAC'+ADA=4 . Phương trình mặt phẳng biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 4=ABAB'+ACAC'+ADA≥3AB.AC.ADAB'.AC'.AD'3.

⇒AB'.AC'.AD'AB.AC.AD≥2764⇒VAB'C'D'VABCD=AB'.AC'.AD'AB.AC.AD≥2764⇒VAB'C'D'≥2764VABCD

Để VAB'C'D' nhỏ nhất khi và chỉ khi AB'AB=AC'AC=AAD=34⇒AB'→=34AB→⇒B'74;14;74B'C'D' // BCD.

Ta có CB→=3;1;2, CD→=1;4;4 suy ra mặt phẳng (BCD) có véctơ pháp tuyến là

n→=CB→;CD→=−4;−10;11.

Lúc đó mặt phẳng B'C'D' song song với mặt phẳng BCD và đi qua B'74;14;74

⇒B'C'D':16x+40y−44z+39=0.