Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất.

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của một đội pha chế (x, y ≥ 0).

Số điểm thưởng của đội chơi này là: Đ(x; y) = 60x + 80y

Số gam đường cần dùng là 30x + 10y.

Số lít nước cần dùng là x + y.

Số gam hương liệu cần dùng là x + 4y.

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường nên ta có hệ bất phương trình 30x+10y≤210x+y≤9x+4y≤24x≥0y≥0⇔3x+y−21≤0x+y−9≤0x+4y−24≤0x≥0y≥0

Miền nghiệm của hệ trên là ngũ giác OABCD (kể cả biên). Ta có: Đ(x; y) = 60x + 80y sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ đã cho khi (x; y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6).

Ta có:

Đ(0; 0) = 60.0 + 80.0 = 0

Đ(7; 0) = 60.7 + 80.0 = 420

Đ(6; 3) = 60.6 + 80.3 = 600

Đ(4; 5) = 60.4 + 80.5 = 640

Đ(0; 6) = 60.0 + 80.6 = 480

Vậy giá trị lớn nhất của D(x; y) là 640 hay để được số điểm thưởng lớn nhất thì cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.