Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=x3−mx2+12x+2m luôn đồng biến trên 1;+∞?

Xét hàm số fx=x3−mx2+12x+2m trên 1;+∞.

f'x=3x2−2mx+12

TH1: Δ'=m2−36≤0⇔−6≤m≤6.

Khi đó fx=x3−mx2+12x+2m luôn đồng biến trên ℝ

Để hàm số y=x3−mx2+12x+2m luôn đồng biến trên 1;+∞.

⇒f1≥0⇔m+13≥0⇔m≥−13.

Suy ra −6≤m≤6. Có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

TH2: Δ'=m2−36>0⇔m<−6∨m>6.

Khi đó f'x=3x2−2mx+12 phải có hai nghiệm phân biệt x1

Yêu cầu bài toán

⇔m∈−∞;−6∪6;+∞x1−1+x2−1<0x1−1.x2−1>0f1≥0⇔m∈−∞;−6∪6;+∞S−2<0P−S+1>0m≥−13⇔m∈−∞;−6∪6;+∞2m3−2<04−2m3+1>0m≥−13

⇔m∈−∞;−6∪6;+∞m<3m<152m≥−13⇔−13≤m<−6.

Có 7 giá trị nguyên thỏa.

Vậy có 20 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B.