Ở mặt nước, một nguồn sóng đặt tại điểm O dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Sóng truyền trên mặt nước có bước sóng λ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy (thuộc mặt nước). Hai điểm P và Q nằm trên Ox, P dao động ngược pha với O còn Q dao động cùng pha với O. Giữa khoảng OP có 4 điểm dao động ngược pha với O, giữa khoảng OQ có 8 điểm dao động ngược pha với O. Trên trục Oy có điểm M sao cho góc PMQ đạt giá trị lớn nhất. Tìm số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MQ?

Đáp án D

Phương pháp giải:

Độ lệch pha: Δφ=2πdλ

Công thức lượng giác: tana−b=tana−tanb1+tanatanb

Hàm số fx đạt cực trị khi  f'x=0

Hệ thức lượng trong tam giác vuông: 1h2=1b2+1c2

Giải chi tiết:

Điểm P dao động ngược pha với nguồn, giữa OP có 4 điểm ngược pha với O, ta có:

ΔφP=2π.OPλ=2k+1π;k=4⇒OP=4,5λ

Điểm P dao động cùng pha với nguồn, giữa OQ có 8 điểm ngược pha với nguồn →k=8

ΔφQ=2π.OQλ=8.2π⇒OQ=8λ

Ta có hình vẽ:

Ta có: PMQ^=OMQ^−OMP^⇒tanPMQ^=tanOMQ^−OMP^

⇒tanPMQ^=tanOMQ^−tanOMP^1+tanOMQ^.tanOMP^

⇒tanPMQ^=OQOM−OPOM1+OQOM.OPOM=OM.OQ−OPOM2+OQ.OP=OM.PQOM2+OP.OQ

Đặt OM=x⇒fx=x.PQx2+OP.OQ

Xét f'x=PQ.x2+OP.OQ−2x.x.PQx2−OP.OQ2=−x2.PQ+PQ.OP.OQx2−OP.OQ2

Để fxmax⇒f'x=0⇒−x2.PQ+PQ.OP.OQ=0

⇒x=OP.OQ=6λ

Kẻ  OH⊥MQ

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OMQ , ta có:

1OH2=1OM2+1OQ2⇒1OH2=16λ2+18λ2⇒OH=4,8λ

Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn MH thỏa mãn:

OH≤2k+1λ≤OM⇒4,8λ≤2k+1λ≤6λ⇒1,9≤k≤2,5⇒k=2

→ trên MH có 1 điểm dao động ngược pha với nguồn

Số điểm dao động ngược pha với O trên đoạn QH thỏa mãn:

OH≤2k+1λ≤OQ⇒4,8λ≤2k+1λ≤8λ⇒1,9≤k≤3,5⇒k=1;2;3

→ trên QH có 3 điểm dao động ngược pha với nguồn

→ Trên MQ có 4 điểm dao động ngược pha với nguồn