Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f1=1,∫01f'x2dx=9 và ∫01x3fxdx=12 . Tính tích phân∫01fxdx bằng

Đáp án B

Ta có ∫01f'x2dx=9          1

Xét∫01x3fxdx=12. Đặt u=fxdv=x3dx⇒du=f'xdxv=x44

⇒12∫01x3fxdx=x44fx01−14∫01x4f'xdx=14−14∫01x4f'xdx

⇒∫01x4f'xdx=−1⇒18∫01x4f'xdx=−18       2

Lại có ∫01x8dx=x9901=19⇒81∫01x8dx=9    3

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được

∫01f'x2+18x4f'x+81x8dx=0⇔∫01f'x+9x42dx=0⇔π.∫01f'x+9x42dx=0

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f'x+9x4, trục hoành Ox, các đường thẳng x=0,x=1 khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:

f'x+9x4=0⇔f'x=−9x4⇒fx=∫f'xdx=−95x4+C

Lại do f1=1⇒C=145⇒fx=−95x5=145

⇒∫01fxdx=∫01−95x5+144dx=−310x6+145x01=52