Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (P) : 7x + by + cz + d = 0 (với b, c, d ∈ ℝ; c <0) đi qua điểm A(1; 3; 5). Biết mặt phẳng (P) song song với trục Oy và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 32. Tính T = b + c + d.

Đáp án đúng là: A

A ∈ (P) : 7.1 + b.3 + c.5 + d = 0 Û 3b + 5c + d = 0

Oy có vectơ chỉ phương j→ = (0; 1; 0)

(P) // Oy Þ nP→. j→= 0 Þ b = 0 nên ta có : 5c + d = −7 Û d = −7 – 5c

d_{(O; (P))} = d72+b2+c2 = 32 

Û 5c+7c2+49 = 32 

Û |5c + 7| = 32 . c2+49 

Û (5c + 7)² = 18(c² + 49)

Û 25c² + 70c + 49 = 18c² + 882

Û 7c² + 70c – 833 = 0

Û c=7c=−17 Û d=−42d=78          

Þ b + c + d = −42+7=−35−17+78=61 

Vậy T = b + c + d = 61.