Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 và (Q): 2x – y + z – 5 = 0 lần lượt tại hai điểm A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): (x – 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6 có tâm I(1; 2; −1).

Mặt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→P = (1; 1; 2).

Mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→Q = (2; –1; 1).

• Gọi A(x; y; z) là tiếp điểm (S) và (P).

Þ IA→=x−1;y−2;z+1 

Vì A là là tiếp điểm (S) và (P) nên ta có: IA→=k.nP→

⇔x−11=y−21=z+12=k  

⇔x=k+1y=k+2z=2k−1

Mà A ∈ (P) nên ta có: x + y + 2z + 5 = 0

Þ k + 1 + k + 2 + 2(2k – 1) + 5 = 0

Þ 6k = –6

Þ k = –1

⇒x=0y=1z=−3

Þ A(0; 1; −3)

• Gọi B(x'; y'; z') là tiếp điểm của mặt phẳng (Q): 2x – y + z − 5 = 0 và mặt cầu (S)

Khi đó : IB→=m.n→QB∈(Q) Û x'−12=y'−2−1=z'+112x'−y'+z'−5=0 

Tương tự như trên ta tìm được B(3; 1; 0).

Với A(0; 1; −3) và B(3; 1; 0) ta có:

Độ dài AB = 3−02+(1−1)2+(0+3)2 = 32 

Vậy ta chọn phương án D.