Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a,\) góc giữa \(SC\) với mặt phẳng đáy bằng \({60^0},SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB = 2a.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Đáp án B

SA vuông góc với mặt phẳng đáy $\Rightarrow SA\bot AB;SA\bot AC$ và A là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABC)

* $\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$

* $\Delta SAC$ vuông tạ A có $\widehat{SCA}=\left( \widehat{SC,\left( ABC \right)} \right)={{60}^{0}}$ nên $AC=\frac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$

* Diện tích $\Delta ABC$ vuông tại A là $\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{{{a}^{2}}}{2}$

Vậy thể tích khối chop S.ABC là $V=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$