Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−12=y1=z+2−1 và d2:x−11=y+23=z−2−2 . Gọi D là đường thẳng song song với mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng D là

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→=1; 1; 1

Điểm A thuộc d1:x−12=y1=z+2−1  nên ta có A(1 + 2a; a; -2 - a).

Điểm B thuộc d2:x−11=y+23=z−2−2  nên ta có B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

⇒AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4

Ta có n→⊥AB→ (Vì D có vectơ chỉ phương là AB→  và song song với mặt phẳng (P))

⇒n→.AB→=0

Þ b - 2a + 3b - a - 2 + a - 2b + 4 = 0

Û 2b - 2a + 2 = 0

Û 2a = 2b + 2

Û a = b + 1

Với AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4  ta có:

AB=b−2a2+3b−a−22+a−2b+42

=b−2b−22+3b−b−1−22+b+1−2b+42

=−b−22+2b−32+−b+52

=b2+4b+4+4b2−12b+9+b2−10b+25

=6b2−18b+38=6b2−3b+38

=6b2−2.32b+94−6.94+38

=6b−322+492

Vậy ta có AB=6b−322+492≥492=722

Do đó AB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi b−32=0⇔b=32

Þ a=32+1=52

Khi đó ta có A6; 52; −92  và AB→=72; 0; −72=−72−1; 0; 1

Do đó đường thẳng D có vectơ chỉ phương là u→=−1; 0; 1

Phương trình đường thẳng D đi qua A6; 52; −92 và có vectơ chỉ phương u→=−1; 0; 1 là: 

Δ:x=6−t   y=52       z=−92+t .

Vậy ta chọn phương án A.