Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a2. Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Xét khối nón (N) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối nón (N).

Ta có

BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒BC⊥AH

AH⊥SBAH⊥BC⇒AH⊥SBC⇒AH⊥HK

Chứng minh tương tự ta có BL⊥LK.

⇒AHKI là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của AK.

⇒ Đáy của hình nón (N) cũng chính là đường tròn tâm O bán kính R=12AK.

Ta có: SA=a2;AC=a2 (do ABCD là hình vuông cạnh a)⇒ΔSAC vuông cân tại A.

⇒SC=a2.2=2a và AK=12SC=a (đường cao đồng thời là trung tuyến).

⇒ Bán kính đáy hình nón (N) là R=12AK=12a.

Ta có AH⊥SBCAK⊥SC⇒AH⊥SC⇒SC⊥AHKL.

Trong (SAC) kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC tại I ta có I∈ABDOI//SC⇒OI⊥AHKL.

⇒I là đỉnh của hình nón (N) và IO là đường cao của hình nón (N).

Dễ thấy OI là đường trung bình của tam giác AKC nên OI=12KC=14SC=a2=h.

Vậy thể tích khối nón là V=13π.R2.h=13π.a22.a4=πa348.

Chọn A.