Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=a,AB=2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (AMN) .

Phương pháp giải:

- Tính thể tích chóp S.ABCD, sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson tính thể tích khối chóp VS.AMN.

- Sử dụng công thức

SAMN=p(p−AM)(p−AN)(p−MN) với p là nửa chu vi ΔAMN.

Giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông SAB,SAD,ABD ta có:

SB=SA2+AB2=4a2+4a2=22a

SD=SA2+AD2=4a2+a2=5a

BD=AB2+AD2=4a2+a2=5a

Khi đó ta có AM=12SB=2a;AN=12SD=a52 (đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: MN là đường trung bình của ΔSBD nên MN=BD2=a52.

Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN ta có: p=AM+AN+MN2=2a+a52+a522=2+52a.

⇒ Diện tích tam giác AMN là SAMN=p(p−AM)(p−AN)(p−MN)=a264

Ta có: VS.AMNVS.ABD=SMSB.SNSD=14 ⇒VS.AMN=14VS.ABD=18VS.ABCD.

Mà VS.ABCD=13SA.SABCD=13.2a.2a.a=4a33 ⇒VS.AMN=18.4a33=a36.

Lại có VS.AMN=13d(S;(AMN)).SAMN, do đó d(S;(AMN))=3VS.AMNSAMN=3.a36a264=a63.

Vậy d(S;(AMN))=a63

Đáp án A.