Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt {2,} {\rm{AA}}' = 2a\). Tính khoảng cách dd giữa hai đường thẳng BD và CD′.

Gọi I là điểm đối xứng của A qua D,

suy ra BCID là hình bình hành nên \[BD//CI\]

Do đó\[d\left( {BD;CD'} \right) = d\left( {BD;\left( {CD'I} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right).\]

Kẻ\[DE \bot CI\] tại E, kẻ\[DK \bot D'E\,\,\left( 1 \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CI \bot DE}\\{CI \bot DD\prime }\end{array}} \right. \Rightarrow CI \bot (DD\prime E) \Rightarrow CI \bot DK(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow DK \bot \left( {CD'I} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {D;\left( {CD'I} \right)} \right) = DK.\]

Xét tam giác IAC, ta có DE//AC (do cùng vuông góc với CI) và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung bình của tam giác ACI. Suy ra\[DE = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = a.\]

Tam giác vuông D′DE, có \[DK = \frac{{D'D.DE}}{{\sqrt {D'{D^2} + D{E^2}} }} = \frac{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}.\]

Đáp án cần chọn là: C