Cho x,y là các số thực thỏa mãn \[{\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức \[P = 2x - y.\]

Điều kiện : \[x + y > 0,x--y > 0\]

\[{\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\]

Ta có:

\[P = 2x - y = \frac{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)} = \sqrt {3({x^2} - {y^2})} = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 \]

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3(x - y)}\\{{x^2} - {y^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3(x - y)}\\{3{{(x - y)}^2} = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}}\\{x + y = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 }\\{y = \sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\)

Vậy  \[Min\,P = 2\sqrt 3 \]

Đáp án cần chọn là: C