Cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{2} = \frac{{ - 1}}\) và điểm \[A\left( {5\,;\,\,4\,;\,\, - 2} \right).\] Phương trình mặt cầu đi qua điểm \(A\) và có tâm là giao điểm của \(d\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\)

Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) với mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right) \Rightarrow I \in d \Rightarrow I\left( {t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\, - 1 - t} \right)\]

\(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow  - 1 - t = 0 \Rightarrow t =  - 1 \Rightarrow I\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( {6\,;\,\,5\,;\,\, - 2} \right)\)

Bán kính mặt cầu là: \(R = IA = \sqrt {{6^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {65} .\)

Vậy phương trình của mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 65.\) Chọn C.