Bất phương trình \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Điều kiện: \(x >  - 1.\)

Khi đó \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 7}  > {\log _2}\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 7}  > x + 1\)

\( \Leftrightarrow x + 7 > {\left( {x + 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 - x - 7 < 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\).

Kết hợp với điều kiện, ta được \( - 1 < x < 2\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}.\) Chọn B.