Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019\,;\,\,2019} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 2} \right) - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2}} - m.\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2}} - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} + 2}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Xét \(h\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), có \(h'\left( x \right) = \frac}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\)

Bảng biến thiên:

Suy ra \(m \le  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(m\) là số nguyên trong đoạn \(\left[ { - 2019\,;\,\,2019} \right]\) nên có 2019 số. Chọn A.