Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f′(x) có đồ thị như hình bên. Biết \[f\left( { - 1} \right) = 1,f( - \frac{1}{e}) = 2.\]. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \[f(x) < ln( - x) + m\;\] nghiệm đúng với mọi \[x \in ( - 1; - \frac{1}{e}).\]

ĐKXĐ: \[ - x > 0 \Leftrightarrow x < 0\]

Ta có: \[f\left( x \right) < \ln \left( { - x} \right) + m \Leftrightarrow m > f\left( x \right) - \ln \left( { - x} \right)\left( * \right)\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - \ln \left( { - x} \right)\] trên khoảng \[\left( { - 1; - \frac{1}{e}} \right)\] có:

\[\,g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{{ - 1}}{{ - x}} = f'\left( x \right) - \frac{1}{x}\]

Ta biểu diễn đồ thị hàm số\[y = \frac{1}{x}\] (nét màu đỏ) trên hình vẽ như sau:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy

\[\,g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{1}{x} > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1; - \frac{1}{e}} \right) \Rightarrow \] Hàm số\[y = g\left( x \right)\] đồng biến trên\[\left( { - 1; - \frac{1}{e}} \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g( - 1) = f( - 1) - ln(1) = 1}\\{g( - \frac{1}{e}) = f( - \frac{1}{e}) - ln\frac{1}{e} = 2 + 1 = 3}\end{array}} \right.\)

Để (*) nghiệm đúng với mọi\[x \in \left( { - 1; - \frac{1}{e}} \right)\] thì \[ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1; - \frac{1}{e}} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge 3.\]

Đáp án cần chọn là: B