Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x)\] là nửa khoảng \[(a;b]\]. Giá trị của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng

Điều kiện:\[x > 0\]

\[{\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x) \Leftrightarrow {\log _3}x \le - {\log _3}(2x)\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _3}(2x) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow {\log _3}(2{x^2}) \le 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{x^2} \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Kết hợp với x>0 ta được\[0 < x \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Do đó\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C