Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(H\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right).\) Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] tại \[A,\,\,B,\,\,C\] sao cho H là trực tâm tam giác \[ABC.\] Phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là

Ta có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right).\)

Thật vậy: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OC \bot OA}\\{OC \bot OB}\end{array} \Rightarrow OC \bot AB} \right.\) (1)

Mà \(CH \bot AB\) (vì \(H\) là trực tâm tam giác \[ABC\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB⊥OHC⇒AB⊥OH(*)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right).\)

Khi đó mặt cầu tâm \(O\) tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có bán kính \(R = OH = 3.\)

Vậy mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha )\) là \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\)

Chọn C.