Cho tam giác ABC có AB = AC = BC, phân giác BH và CK cắt nhau tại I. Cho các phát biểu sau: (I) CK ⊥ AB; (II) BH ⊥ CK ; (III) BH ⊥ AC; (IV) IBC^=ICB^. Số phát biểu đúng là:

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có AB = AC = BC (giả thiết) nên là tam giác đều

Do đó A^=ABC^=ACB^ 

Vì CK là tia phân giác của ACB^ (giả thiết)

Nên ACK^=KCB^=12ACB^ (tính chất tia phân giác)         (1)

Xét ∆ACK và ∆BCK có:

AC = BC (giả thiết),

ACK^=KCB^ (chứng minh trên),

CK là cạnh chung.

Do đó ∆ACK = ∆BCK (c.g.c)

Suy ra AKC^=BKC^ (hai góc tương ứng)

Mà AKC^+BKC^=180° (tính chất hai góc kề bù)

Nên AKC^=BKC^=180°2=90°

Do đó CK ⊥ AB. Nên (I) là phát biểu đúng.

Mà BH là tia phân giác của ABC^ (giả thiết)

Nên ABH^=HBC^=12ABC^ (tính chất tia phân giác)         (2)

Xét DABH và DCBH có:

AB = BC (giả thiết),

ABH^=HBC^ (chứng minh trên),

BH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆CBH (c.g.c)

Suy ra AHB^=CHB^ (hai góc tương ứng)

Mà  AHB^+CHB^=180° (tính chất hai góc kề bù)

Nên AHB^=CHB^=180°2=90°

Do đó BH ⊥ AC.

Nên (II) là phát biểu sai và (III) là phát biểu đúng.

Từ (1) và (2) suy ra ABH^=HBC^=ACK^=KCB^.

Hay IBC^=ICB^

Nên (IV) là phát biểu đúng.

Vậy có 3 phát biểu đúng, ta chọn phương án C.