Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau: Trong các số \[a,\,\,b,\,\,c\] có bao nhiêu số dương?

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\)

\( \Rightarrow  - \frac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c =  - 2b\) và tiệm cận ngang \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\).

Ta có \[f\left( x \right) = \frac \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{(bx + c)}^2}}}\]

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right)\) và \(\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)\) nên ta có

\(y' > 0\,;\,\,\forall x \ne 2 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,;\,\,\forall x \ne 2\)

\( \Leftrightarrow ac - b > 0 \Leftrightarrow b.( - 2b) - b > 0 \Leftrightarrow  - 2{b^2} - b > 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < b < 0 \Rightarrow b < 0 \Rightarrow a < 0,\,\,c > 0.\)

Vậy trong ba số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số dương. Chọn C.