Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \(A\left( {5\,;\,\,1\,;\,\,5} \right)\,;\,\,B\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,2} \right)\,;\,\,C\left( { - 3\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\) Điểm \(I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC.\] Tính \(a + 2b + c\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)}\\{\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7\,;\,\, - 5\,;\,\, - 1} \right)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \vec 0 \Rightarrow } \right.\) tam giác \[ABC\] vuông tại \[B.\]

\( \Rightarrow \) Tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là trung điểm của cạnh huyền \[AC.\]

\( \Rightarrow I\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}\,;\,\,3} \right).\)

Vậy \(a + 2b + c = 3.\) Chọn B.