Cho các số thực x,y thỏa mãn lny≥lnx3+2−ln3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y.

Điều kiện: y>0,x>−23

Từ giả thiết ta có: lny+ln3≥lnx3+2⇔ln3y≥lnx3+2⇔3y≥x3+2⇔3y−x≥x3−3x+2

Xét hàm số hx=x3−3x+2 trên  −23;+∞.

Ta có: h'x=3x2−3,h'x=0⇔3x2−3=0⇔x=−1x=1.

          h−1=4,h1=0,h−23=323>0.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: min−23;+∞hx=0.

Suy ra: 3y−x≥0⇔y−x≥0.

Ta có:

H=e4y−x3−x−2−x2+y22+xy+1−y=ey−x+3y−x3+2−y−x22−y−x≥ey−x−y−x22−y−x.

Xét hàm số gt=et−12t2−t trên 0;+∞.

Ta có: g't=et−t−1,g"t=et−1.

Ta có: ∀t≥0⇒g"t=et−1≥e0−1=0,

suy ra hàm số g't đồng biến trên 0;+∞.

Suy ra: ∀t≥0:g't≥g'0=0,

suy ra hàm số gt đồng biến trên 0;+∞.

Vậy min0;+∞gt=g0=1, Suy ra: Hmin=1.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=y3y=x3+2⇔x=y=1.