Công ty sữa Vinamilk thiết kế các sản phẩm dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng bằng 23 chiêu dài. Sản phẩm chứa dung tích bằng 180 ml. Khi thiết kế công ty luôn đặt ra mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là tiết kiệm nhất. Để công ty tiết kiệm được vật liệu nhất thì chiều dài của đáy hộp gần bằng giá trị nào sau đây?

Đáp án D

Ta có 180ml = 180cm³.

Gọi chiều dài của đáy hộp là x (cm), x > 0, khi đó chiều rộng của đáy hộp là 23xcm.

Gọi chiều cao của hộp chữ nhật là h (cm), h > 0.

Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là V=x.23x.h=180cm3⇒h=270x2cm.

Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là

STP=2.x.23x+2.x.270x2+2.23x.270x2cm2=43x2+900xcm2=fx.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm x dương để hàm số fx=43x2+900x đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương 43x2, 450x, 450x, ta có

43x2+450x+450x≥343x2.450x.450x3⇔fx≥32700003, ∀x>0.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 43x2=450x=450x⇔x=270032≈6,96cm.