Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[SBC.\] Thể tích khối tứ diện \[SGCD\] bằng

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) (vì \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều).

Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \[BC.\]

• Xét hình vuông \[ABCD\] có: \(OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

• Xét \[\Delta SOC\] vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \frac{{{{\sqrt 2 }^2}}}{2}\)

Ta có \({V_{S.DCI}} = \frac{1}{2}{V_{S.DBC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{\sqrt 2 }}\) (vì \({S_{DBC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\) và \(\left. {IC = \frac{1}{2}BC} \right).\)

\(\frac{{{S_{S.DCG}}}}{{{S_{S.DCI}}}} = \frac \cdot \frac \cdot \frac = \frac{2}{3}\) (vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC).\)

\( \Rightarrow {V_{S.DCG}} = \frac{2}{3}{V_{S.DCI}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}.\) Chọn A.