Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2+3x+m2−3x=1 có hai nghiệm phân biệt là khoảng (a; b). Tính T = 3a + 8b.

Nhận xét: 2+3x2−3x=1.

Đặt t=2+3x, t>0⇒2−3x=1t

Khi đó phương trình trở thành t+m.1t=1⇔t2+m=t⇔m=−t2+t⇔m=ft

Bài toán tương đương: Tìm m để phương trình m=ft có hai nghiệm dương phân biệt. Ta có ft=−t2+t⇒f't=−2t+1; f't=0⇔t=12>0. 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm khi 0

Vậy m∈0;14 từ đó ta có a = 0, b=14 => T = 3a + 8b = 2