Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} \). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn \({\rm{f}}\left( x \right) \le {\rm{m}}\) với mọi \({\rm{x}} \in \left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\).

Hàm số \[y = f\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} \] xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\).

\(f'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\,;\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{1 - {x^2} = {x^2}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.} \right.\)

Ta có \({\rm{f}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 \) và \({\rm{f}}\left( 1 \right) = 1\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]} f\left( x \right) = \sqrt 2 \) khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]} f\left( x \right) =  - 1\] khi \(x =  - 1\).

Do đó, \({\rm{f}}\left( x \right) \le {\rm{m}}\) với mọi \({\rm{x}} \in \left[ { - 1\,;\,\,1} \right]\) khi và chỉ khi \[{\rm{m}} \ge \mathop {\max \,f}\limits_{\left[ { - 1\,;\,\,1} \right]} \left( x \right) \Leftrightarrow {\rm{m}} \ge \sqrt 2 \]. Chọn A.