Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = ln(x + \sqrt {{x^2} + 1} )}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac}}dx}\\{v = x}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}}\\{v = x}\end{array}} \right.dx = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\[ \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \smallint \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx + {C_1}.\]

Đặt\[t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx\]

\[ \Rightarrow \smallint \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \smallint \frac{t} = \smallint dt = t + {C_2} = \sqrt {{x^2} + 1} + {C_2}\]

Khi đó ta có:\[ \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C.\]

Đáp án cần chọn là: A