Cho đa thức \[f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\left( {n \in {N^*}} \right).\] Tìm hệ số \[{a_3}\] biết rằng \[{a_1} + 2{a_2} + ... + n{a_n} = 49152n.\]

Đáp án D

Phương pháp:

Đạo hàm hàm số \(f\left( x \right)\) và chọn giá trị x phù hợp để tính giá trị biểu thức đề bài cho.

Cách giải:

Ta có: \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {3x} \right)}^k} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}} \).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x + ...n{a_n}{x^{n - 1}}\).

Chọn \(x = 1\) ta có: \(f'\left( 1 \right) = 3n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2} + ... + n{a_n} = 49152n\)

\( \Leftrightarrow 3n{.4^{n - 1}} = 49152n \Leftrightarrow {4^{n - 1}} = 16384\)

\( \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow {a_3} = C_8^3{.3^3} = 1512\).