Biết giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right) = \left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| + 9x\] trên \[\left[ {0;3} \right]\] bằng 60. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số thực m.

Đáp án C

Có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 60 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le 60,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right]\) và \(\exists {x_0} \in \left[ {0;3} \right]\) sao cho \(f\left( \right) = 60\).

Có \(f\left( x \right) \le 60 \Leftrightarrow \left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| + 9x \le 60 \Leftrightarrow \left| {2{x^3} - 15x + m - 5} \right| \le 60 - 9x\)

\( \Leftrightarrow 9x - 60 \le 2{x^3} - 15x + m - 5 \le 60 - 9x \Leftrightarrow - 2{x^3} + 24x - 55 \le m \le - 2{x^3} + 6x + 65\)

Có \( - 2{x^3} + 6x + 65 \ge 29,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right]\) nên \(m \le - 2{x^3} + 6x + 65,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow m \le 29\).

Tương tự \( - 2{x^3} + 24x - 55 \le - 23\) nên \( - 2{x^3} + 24x - 55 \le m,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow m \ge - 23\).

Vậy \( - 23 \le m \le 29\) thì \(f\left( x \right) \le 60,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;3} \right]\).

Đề \(\exists {x_0} \in \left[ {0;3} \right]\) sao cho \(f\left( \right) = 60\) thì \(\left[ \begin{array}{l} - 2{x^3} + 24x - 55 = m\\ - 2{x^3} + 6x + 65 = m\end{array} \right.\) có nghiệm trên \(\left[ {0;3} \right]\).

Hay \(\left[ \begin{array}{l}m \ge 29\\m \le - 23\end{array} \right.\). Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 29\\m = - 23\end{array} \right.\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 60\).

Khi đó tổng các giá trị của m là 29 – 23 = 6.