Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A, B:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có GB=23BE và GC=23CF.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra 23BE+23CF>BC.

Do đó 23BE+CF>BC.

Khi đó BE+CF>32BC  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) AD+BE>32AB  (2).

+) AD+CF>32AC  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: 2AD+2BE+2CF>32AB+32BC+32AC.

Suy ra 2AD+BE+CF>32AB+BC+AC.

Do đó AD+BE+CF>34AB+BC+AC.

Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.

Ta xét đáp án C:

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’.

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

ADB^=A'DB^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB  (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC  (5).

+) 2CF < AC + BC  (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.