Cho hình chóp \(S.{\rm{ABCD}}\) có đáy là hình bình hành. Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{AB}},\,\,{\rm{AD}}\) và \({\rm{G}}\) là trọng tâm tam giác \({\rm{SBD}}\). Mặt phẳng \(({\rm{MNG}})\) cắt \({\rm{SC}}\) tại điểm \({\rm{H}}{\rm{.}}\) Tính \(\frac{{{\rm{SH}}}}{{{\rm{SC}}}}.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {{\rm{ABCD}}} \right)\), gọi \({\rm{E}} = {\rm{MN}} \cap {\rm{AC}}\). Trong mặt phẳng \(\left( {{\rm{SAC}}} \right)\), gọi \({\rm{H}} = {\rm{EG}} \cap {\rm{SC}}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{H}} \in {\rm{EG}}\,;\,\,{\rm{EG}} \subset \left( {{\rm{MNG}}} \right)}\\{{\rm{H}} \in {\rm{SC}}}\end{array} \Rightarrow {\rm{H}} = {\rm{SC}} \cap \left( {{\rm{MNG}}} \right).} \right.\)

Gọi \({\rm{I}},\,\,{\rm{J}}\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{SG}}\) và \({\rm{SH}}\).

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{IJ}}\,{\rm{//}}\,{\rm{HG}}}\\{{\rm{IA}}\,{\rm{//}}\,{\rm{GE}}}\end{array} \Rightarrow {\rm{A}},\,\,{\rm{I}},\,\,{\rm{J}}} \right.\] thẳng hàng.

Xét \(\Delta {\rm{ACJ}}\) có \({\rm{EH}}\,{\rm{//}}\,{\rm{AJ}} \Rightarrow \frac{{{\rm{CH}}}}{{{\rm{HJ}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EA}}}} = 3 \Rightarrow {\rm{CH}} = 3{\rm{HJ}}\).

Lại có \({\rm{SH}} = 2{\rm{HJ}}\) nên \({\rm{SC}} = 5{\rm{HJ}}\). Vậy \(\frac{{{\rm{SH}}}}{{{\rm{SC}}}} = \frac{2}{5}\). Chọn A.