Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 60⁰. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Bước 1:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì chóp S.ABC đều nên \[SG \bot \left( {ABC} \right)\]

Gọi D là trung điểm của BC ta có: \[AD \bot BC\]

Ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AD}\\{BC \bot SG(SG \bot (ABC))}\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot (SAD) \Rightarrow BC \bot SD\)

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(SBC) \cap (ABC) = BC}\\{(SBC) \supset SD \bot BC}\\{(ABC) \supset AD \bot BC}\end{array}} \right\} \Rightarrow ((SB\widehat {C);(A}BC)) = (S\widehat {D;A}D) = \widehat {SDA} = {60^0}\)

Bước 2:

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \[AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow DG = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

\[SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot AD \Rightarrow {\rm{\Delta }}SGD\]vuông tại G

\[ \Rightarrow SG = GD.\tan 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}\]

Bước 3:

Tam giác ABC đều \[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]

Bước 4:

\[ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}\]

Đáp án cần chọn là: C