Cho tứ diện ABCD với \(AC = \frac{3}{2}AD,\,\,\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = 60^\circ ,\,\,CD = AD\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chọn khẳng định đúng về góc φ.

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

= AB.AD.cos60° – AB.AC.cos60°

\( = \frac{1}{2}AB.AD - \frac{1}{2}AB.AC = \frac{2}\left( {AD - AC} \right)\)

\( = - \frac{1}{4}AB.AD\) (1)

Lại có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.CD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right)\)   (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right) = - \frac{1}{4}\).

\( \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{1}{4}\).

Vậy ta chọn phương án C.