Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(-1; 4; 1), phương trình đường chéo BD:x−21=y−2−1=z+3−2 , đỉnh C(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y + z - 4 = 0. Khi đó giá trị của S = a + b + c là:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

+) BD:x−21=y−2−1=z+3−2

⇒x=2+t    y=2−t    z=−3−2t

+) Đỉnh C(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y + z - 4 = 0

Þ a + 2b + c - 4 = 0 (1)

+) uBD→=1;−1;−2

Mặt phẳng (Q) vuông góc với BD nhận véc-tơ chỉ phương của đường thẳng BD làm véc-tơ pháp tuyến và đi qua A(-1; 4; 1) có phương trình

(Q): (x + 1) - (y - 4) - 2.(z - 1) = 0

Û x - y - 2z + 7 = 0

M là giao của mặt phẳng (Q) và đường thẳng BD nên ta có M(2 + m; 2 - m; -3 - 2m) Î (Q)

Þ (2 + m) - (2 - m) - 2.(-3 - 2m) + 7 = 0

Û 2 + m - 2 + m + 6 + 4m + 7 = 0

Û 6m + 13 = 0

⇔m=−136⇒M−16;256;43

Kẻ CN ^ BD. Dễ dàng chứng minh được AM→=NC→

⇔56; 16; 13=a−xN; b−yN; c−zN

⇒Na−56; b−16; c−13

Mà điểm N Î BD nên suy ra

⇒a−56=2+t    b−16=2−t    c−13=−3−2t⇔a=176+t   b=136−t   c=−83−2t(2)

Thay (2) vào (1) ta được

176+t+2.136−t+−83−2t−4=0

⇔3t−12=0⇔t=16 (3)

Lại tiếp tục thay (3) vào (2) ta được

a=176+t=176+16=3​​     b=136−t=136−16=2     c=−83−2t=−83−13=−3

Khi đó giá trị của S = a + b + c là:

S = 3 + 2 - 3 = 2.