Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(-1; 1; 6), B(-3; -2; -4), C(1; 2; -1), D(2; -2; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.

Đáp án đúng là: B

Ta có:CD→=1; −4; 1 . 

Phương trình đường thẳng CD đi qua D vào có véc-tơ chỉ phương là (1; 4; 3)

CD:x=2+t    y=−2−4tz=t         

Điểm M thuộc CD nên M(2 + m; -2 - 4m; m).

Để tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất thì AM + BM + AB nhỏ nhất.

Mà AB cố định nên AM + BM nhỏ nhất.

Ta có: AM + BM

=m+32+−4m−32+m−62+m+52+−4m2+m+42

=18m2+18m+54+18m2+18m+41

=18m2+m+14+992+18m2+m+14+732

=18m+122+992+18m+122+732

≥992+732

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=−12 . 

Do đó tọa độ điểm M là M32; 0; −12.