Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;3\pi } \right]\).

Đáp án B

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp:

TH1: \(\cos x = 0\)

TH2: \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\).

Giải chi tiết:

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right) \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó phương trình trở thành \(1 = 1\) (luôn đúng).

\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2}{\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \sqrt 3 \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \sqrt 3 \tan x = 1 + {\tan ^2}x \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)\)

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le 3\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{6}{\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\)

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.