Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng 2a và đáy là hình vuông có cạnh bằng a. Gọi M, N, P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB'A',BCC'B',CDD'C' và ADD'A'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M,N, P, Q bằng:

Phương pháp:

- Sử dụng phân chia khối đa diện

- Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp V = S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao hình hộp.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp V=13S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao hình hộp.

Cách giải:

Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là V=2a.a2=2a3

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AA', BB' lần lượt tại A'', B''

Qua P kẻ đường thẳng song song với DC cắt CC', DD' lần lượt tại D'', C''.

Suy ra A''; Q; D'' thẳng hàng và A"D"//AD;B";N;C" thẳng hàng và B''C''//BC

Ta có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A"B",B"C",C"D",D"A"

A'', B'', C'', D'' lần lượt là trung điểm của AA',BB',CC',DD'.

Suy ra VABCD.A"B"C"D"=12VABCD.A'B'C'D'=12.72=36

Ta có VABCD.MNPQ=VABCD.A"B"C"D"−VD.QD"P−VC.NC"P−VB.MNB"−VA.QMA"

VD.QD"P=13.SQD"P.dD;QD"P

=13.12QD".D"P.sin∠QD"P.dD;A"B"C"D"

=13.12.12AD.12DC.sin∠ADC.dD;A"B"C"D"

=124.AD.DC.sin∠ADC.dD;A"B"C"D"

=124.SABCD.dD;A"B"C"D"

=124.VABCD.A"B"C"D"

=124.2a3=a312

Tương tự ta có VC.NC"P=VB.MNB"=VA.QMA"=a312

Suy ra VABCD.MNPQ=VABCD.A"B"C"D"−VD.QD"P−VC.NC"P−VB.MNB"−VA.QMA"=2a3−4.a312=5a33.

Chọn C.