Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Đáy là tam giác vuông tại A, có BC = 2AC = 2a. Đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 300. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng;

Gọi O, O’ lần trung điểm của BC và B’C’.

Vì tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ nên O, O’ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC, A’B’C’. Lại có OO’ vuông góc với hai đáy nên OO’ là trục hai đáy.

Gọi I là trung điểm của OO’ =>I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ.

Trong (ABC) kẻ AH⊥BC(H∈BC) ta có {AH⊥BCAH⊥BB'⇒AH⊥(BCC'B')⇒HC' là hình chiếu của AC’ lên (BCC’B’), do đó ∠(AC';(BCC'B'))=∠(AC';HC)=∠AC'H=300.

Xét tam giác vuông ABC ta có AB=BC2−AC2=4a2−a2=a3⇒AH=AB.ACBC=a3.a2a=a32.

Xét tam giác AC’H vuông tại H có: AC'=AHsin300=a32:12=a3.

Xét tam giác vuông AA’C’ có: AA'=AC'2−A'C'2=3a2−a2=a2=OO'⇒IO=12OO'=a22.

Xét tam giác vuông IOC có: \[IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = R\].

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: S=4πR2=4π.(a62)2=6πa2.

Đáp án B.