Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn logx−2100y=y−x−2y+x−2+1−2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=lny2+2x2021 thuộc khoảng nào dưới đây?

ĐKXĐ: x−2100y>0x−2≥0⇔x>2y>0.

Ta có:

     logx−2100y=y−x−2y+x−2+1−2

⇔logx−2−logy−2=y2−x−2+y−x−2−2

⇔x+2+x−2+logx−2=y2+y+logy

Xét hàm đặc trưng ft=t2+t+logtt>0 ta có f't=2t+1+1tln10>0 ∀t>0, do đó hàm số đồng biến trên 0;+∞.

Do đó fx−2=fy⇔x−2=y⇔x−2=y2⇔x=y2+2>2.

Khi đó ta có: P=lny2+2x2021=lnxx2021

Xét hàm số Px=lnxx2021 với x > 2 ta có: P'x=x2021x−12021.x−20202021lnxx20212

P'x=0⇔x2021x−12021.1x20202021lnx=0⇔2021x−xlnx=0⇔x=0ktmx=e2021tm

BBT:

Vậy Pmax∈700;800.

Chọn C.