Cho đồ thị C:y=xx−1. Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng:

Phương pháp:

- Sử dụng: Vì I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=xx−1⇒IA=IB.

- Chứng minh SΔMAB=2SΔMAI

- Kẻ AH⊥MIH∈MI ta có SΔMAI=12AH.MI, chứng minh để SΔMAB đạt giá trị nhỏ nhất  thì SΔMAI đạt giá trị nhỏ nhất ⇒AH đạt giá trị nhỏ nhất.

- Viết phương trình đường thẳng MI, tính AH=dA;MI, sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.

- Suy ra tọa độ điểm A tính IA và suy ra AB

Cách giải:

Dễ thấy I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=xx−1 (giao điểm 2 đường tiệm cận).

Vì d đi qua A và cắt đồ thị y=xx−1 tại 2 điểm phân biệt A, B nên IA=IB=12AB.

Ta có: SΔMAISΔMAB=MIMA=12⇒SΔMAB=2SΔMAI

Kẻ AH⊥MIH∈MI ta có SΔMAI=12AH.MI với MI=1−02+1−32=5

⇒SΔMAI=12AH.5=52AH.

Để SΔMAB đạt giá trị nhỏ nhất thì SΔMAI đạt giá trị nhỏ nhất ⇒AH đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình đường thẳng MI là x−10−1=y−13−1⇔2x−1=−y−1⇔2x+y−3=0

Gọi Ax0;x0x0−1∈C ta có AH=dA;MI=2x0+x0x0−1−322+12=2x0+1x0−1−25.

Giả sử A là điểm nằm bên phải đường thẳng x>1⇒x0>1.

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2x0+1x0−1−2=2x0−1+1x0−1≥22⇒AHmin=225=2105.

Dấu “=” xảy ra ⇔2x0−1=1x0−1⇔x0−12=12⇔x0−1=12⇔x0=1+12.

Khi đó A1+12;1+2⇒IA=1+12−12+1+2−12=102⇒AB=2IA=10.

Vậy để SΔMAB đạt giá trị nhỏ nhất thì AB=10.

Chọn A.