Tài liệu hình học 9: Chuyên đề đường tròn

Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN A. LÝ THUYẾT I. Sự xác định của đường tròn. Tính đối xứng của đường tròn 1. Định nghĩa  Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R  Kí hiệu:  ; O R hoặc O 2. Vị trí tương đối của điểm và đường tròn Xét đường tròn  ; O R và một điểm .M  Điểm M nằm trong đường tròn khi OM R  Điểm M nằm trên đường tròn khi OM R  Điểm M nằm ngoài đường tròn khi OM R Chú ý:  Để chứng minh một điểm thuộc đường tròn ta chứng minh khoảng cách từ điểm đó đến tâm của đường tròn bằng bán kính của đường tròn.  Để chứng minh một số điểm cùng thuộc một đường tròn ta phải chỉ ra rằng các điểm đó cùng cách đều một điểm nào đó (điểm đó chính là tâm của đường tròn) 2. Cách xác định của đường tròn Một đường tròn xác định khi:  Biết tâm và bán kính của đường tròn  Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn  Khi biết ba điểm thuộc đường tròn Chú ý:  Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn  Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng  Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh trong tam giác. 3. Tính đối xứng của đường tròn  Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.  Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. 4. Ví dụ minh họa Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! Ví dụ 1: Cho ABC có ba góc nhọn. Vẽ đường tròn O đường kính ,BCnó cắt cạnh ,AB AC lần lượt theo thứ tự ở , .D E 1. Chứng minh rằng: CD AB và .BE AC 2. Gọi .K BE CD Chứng minh rằng: .AK BC Hướng dẫn giải Lý thuyết cần nhớ:  Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền  Nếu trong tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông. 1.12OD BC BCD   vuông tại .D CD AB  12OE BC BCE   vuông tại .E BE AC  2. K BE CD K   là trực tâm của .ABC AK BC   Ví dụ 2: Cho ABC cân tại ,A 12 ,BC cmđường cao 4 .AH cm Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp .ABC Hướng dẫn giải Gọi D AH O . ABC cân tại A AH là đường trung trựcAD là đường kính 12OC AD ACD   vuông tại 2 2 2. : 6 : 4 9C CH AH DH DH CH AH cm      KEDOBCA Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! 4 9 13 13 : 2 6, 5AD AH DH cm R cm         II. Đường kính và dây của đường tròn 1. So sánh độ dài của đường kính và dây  Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất. 2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung  Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trong điểm của dây ấy.  Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 3. Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có 090B D . Chứng minh rằng: 1. Bốn điểm , , ,A B C D cùng thuộc một đường tròn. 2. So sánh AC và .BD Nếu AC BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Hướng dẫn giải 1. Gọi O là trung điểm của : 2AC OA OB OC OD AC      Bốn điểm , , ,A C B D nằm trên đường tròn O đường kính .AB 2. AC là đường kính của đường tròn O, BD là dây cung của đường tròn O.AC BD  +) Nếu AC BD BD  là đường kính của đường tròn O OA OB OC ODABCD   là hình bình hànhAC BDACBD là hình chữ nhật DOHBCA Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! Ví dụ 4: Cho đường tròn O, đường kính .AB Dây CD cắt đường kính AB tại .I Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến .CD CMR: .CH DK Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của // // CD OM CD OM AH BK   Gọi ; // // OA OB ON BK MN AHN OM AK AN NK MH MK      MC MDMC MH MD MK CH DK      Ví dụ 5: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn .O M là một điểm bất kì thuộc cung BC không chứa .A Gọi ,D E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua , .AB AC Tìm vị trí điểm Mđể DE có độ dài lớn nhất. DAAOCOCBDBMNKHIAOBDC Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! Hướng dẫn giải 2 2 2DAE DAM MAE MAB MAC BAC const     . ADE cân tại .A max max maxAD AMDE AD AM  . Ta có: maxAM AN AM AN M N     Vậy M nằm trên cung BC sao cho AM là đường kính của đường tròn O III. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây 1. Kiến thức cần nhớ Trong một đường tròn:  Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm  Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau  Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn  Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 6: Cho đường tròn O đường kính AB, các dây , .AC AD Gọi E là điểm bất kì trên đường tròn, H và K theo thứ tự là hình chiếu của E trên , .AC AD Chứng minh rằng: .HK AB Hướng dẫn giải Gọi I là trung điểm của , , ,AE IA IH IK IE A H K E     cùng thuộc một đường tròn tâm I đường kính .AE ABAE HK AE HK AB    NDEOBCAM Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! Ví dụ 7: Cho đường tròn O, dây 24 ,AB cm dây 20AC cm (090BAC và điểm O nằm trong góc BAC). Gọi M là trung điểm của .AC Khoảng cách từ M để AB bằng 8 .cm 1. Chứng minh rằng: ABC cân tại .C 2. Tính bán kính của đường tròn O Hướng dẫn giải 1. Kẻ 2 2 2 28 10 8 6MH AB H AB MH cm AH MA MH cm          Kẻ ; // 2 16 ; 2 12 : 2MA MC MH CKCK AB CK MH cm AK AH cm AB           CK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của ABC ABC  cân tại .C 2. 0chung ; 9016 810 5ACK AKC OMCAC CKAKC OMC g gOC CM               5. 5.2012, 58 8ACOC cm    Ví dụ 8: Cho đường tròn O, đường kính 13 .AB cm Dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại .H 1. Tính độ dài , ?HA HB 2. Gọi ,M N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên , .AC BC Tính ?CMHNS Hướng dẫn giải 1. 22 2 213 25 5: 2 12 : 2 6 62 4 2CH CD cm OH OC CH cm             VÍ DỤ 7VÍ DỤ 6HMCKIHKAOBOCDEAB Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! 13 5 8 13 54 ; 92 2 2 2 2AH OA OH cm BH OB OH cm            2. 0290 ; 36169ACB CMH MCH ABCHCMABCSCHABC HCM g gS AB            Lại có: 2 236.1 1 36.39 108. .6.13 392 2 169 169 13ABCABC HCMSS CH AB cm S cm        2108 2162 2.13 13CMHN CMHS S cm    Ví dụ 9: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của .ACD Chứng minh rằng: .OE CD Hướng dẫn giải NMDCAOBHGMONEDBCA Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! 1. Gọi ; ; .M CE AB N DE AC G CD OA      Ta có: Ta - lÐt ®¶o2 // 3OD ABCG CEGE AB GE ODCD CM        Ta có: // OA BCDN BC OA DN OG DE     ; OG DE EG ODG  là trọng tâm của .ODE DG OE OE CD     IV. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 1. Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d R Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d R  Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 10: Cho nửa đường tròn O đường kính .AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi ,E F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ ,A B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến .AB Chứng minh rằng: 1. .CE CF 2. AC là tia phân giác của góc BAE 3. 2. .CH AE BF Hướng dẫn giải dHFEOBAC Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! 1. // AE BFABFE là hình thang ; // AE // BFOA OB OCCE CF  2. AOC cân tại  OC // AEOCA CAEO OAC OCA BAC OCA BAC CAE      AC là phân giác của góc BAE 3.  ; AC chungCAH CAEAHC AEC ch gnhon AE AH       BOC cân tại  // OCOCB CBF BFO HBC OCB HBC CBF     chungBCBHC BFC ch gnhon BF BH         : 2OC AB ABC   vuông tại ; 2 2. .AH AE BH BFC CH AH BH CH AE BF     Ví dụ 11: Cho ABC nội tiếp đường tròn  ; O R, H là trực tâm của ABC, M là trung điểm của .BC Chứng minh rằng: 1. 2 .AH OM 2. Tính ?BC Nếu .AH R Hướng dẫn giải 1. Kẻ đường kính AK của đường tròn O ; ; // ; // BK AB CH AB BH AC CK ACBK CH BH CK             // ; // BH CK BK CHBHCK là hình bình hànhM là trung điểm của HK OM là đường trung bình của 2AHK AH OM   2. 22 2 232 2 4 2AH R R RAH R OM MC OC OM R          32 2. 32RBC MC R    KHOMBCA Ôn Thi Vào Lớp 10 – Thầy: Phùng Ngoại – Mobile: 0944 260 811 – Facebook: PhungNgoai90 Tham gia các khóa học trực tuyến tại website PhungNgoai.ga để đạt kết quả cao nhất trong học tập!!! Ví dụ 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 2 .AB R Vẽ hai dây AD và BC cắt nhau tại điểm E nằm bên trong nửa đường tròn. Chứng minh rằng: 1. . .EA ED EB EC 2. Chứng minh rằng: . .AE AD BE BC không đổi. Hướng dẫn giải 1. 090 ; . .ACE BDE AEC BEDEA ECACE BDE g g EA ED EB ECEB ED                2. Kẻ .EH AB H AB  090 ; chung. .AHE ADB BADAH AEAHE ADB g g AE AD AH ABAD AB               090 ; chung. .BHE BCA ABCAB BCABC EBH g g BE BC BH ABBE BH               2 2. . . . AB 4AE AD BE BC AH AB BH AB AH BH AB R        Ví dụ 13: Cho nửa đường tròn O đường kính .ABVẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Gọi C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn, BC cắt Ax tại P. Gọi Q là trung điểm của .AP Chứng minh rằng: 1. .AC OQ 2. Vẽ CH AB cắt BQ tại .N Chứng minh rằng: .NH NC Hướng dẫn giải 1. OA = OB ; AQ = PQOQ    là đường trung bình của // .AC BPABP OQ BP AC OQ     2. ; Ta - lÐt// CH AB AP AB AQ PQNH BN CNCH AP BN CNAQ BQ PQ              HEAOBDC